当傅里叶拿起画笔

0 说明

希望大家都有所收获，能手执傅里叶画笔，写了这篇文稿，由于时间和精力有限采用文本形式

个人对傅里叶级数展开的绘图与原理的简单理解，希望能有所收获

文稿写的可能不够完善，比较粗糙，欢迎批评指正

拜读了 3Blue1Brown 和 [OUTDATED] ManimCairo tutorial - Fourier Scene - YouTube 视频相关大佬给出的相关程序，是基于 ManimCairo，我对其进行了简单的适配，适配到社区版的 ManimCE

原程序：

https://pastebin.com/eeQ4mbLj

https://gitlab.com/zavden/manim-backup/-/raw/master/fourier.py

svg文件：music_svg - Google 云端硬盘

适配后的程序(含原程序)：

https://github.com/JermainLiu/Manim_Fourier

链接到：

当傅里叶拿起画笔——manim_fourier 程序分享、、、_哔哩哔哩_bilibili

兔年到，manim画个兔_哔哩哔哩_bilibili

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1 傅里叶级数展开

1.1 狄利赫里条件

对于周期信号：

(1) 在一个周期内，如果有间断点，则间断点的数目应该为有限个；

(2) 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

(3) 在一个周期内，信号是绝对可积的。

1.2 傅里叶级数展开

满足狄利赫里条件的周期函数可以展开成傅里叶级数形式

对于有限区间（时域有限）函数（信号）可以通过周期延拓得到周期函数，展开为傅里叶级数

周期为$T_1$函数 $f(t)$展开成傅里叶级数指数形式，如下

$$\begin{align} f(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {F_n e^{jnw_1t}} \quad 其中 \, w_1 = \frac{2\pi}{T_1} \, 为基波频率 \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {F_n e^{jw_nt}} \quad 其中 \, w_n =nw_1 为 \, n 次谐波频率 \end{align}$$

傅里叶级数系数 $F_n$ 计算公式：

$$F_n = \frac{1}{T_1} \int_{T_1}{f(t)e^{-jw_n t}} \, {\rm d}t$$

当 $T_1 = 1 $ 时，

$$\left\{ \begin{array}{c} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {F_n e^{jn2\pi t}} \\ F_n = \int_{0}^{1}{f(t)e^{-jn2\pi t}} \, {\rm d}t \end{array} \right.$$

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2 复数系引入

当我们把一个矢量图像放到直角坐标系中，点 $(x,y)$ 的轨迹显然无法写出显性函数 $y=f(x) $

然而我们可以想象一下，我们自己描图的时候怎样进行的，定义第一笔为时刻 $t = 0$，笔尖落在了开头位置，随着时刻的变化，笔尖的位置不断变化，最终在 $t=1$ 时笔尖落地到轨迹的末端，于是我们得到一个映射

$$t \overset{\quad f \quad }{\to} (x_t, y_t) \quad t \in [0,1]$$

也即点的位置是 $t$ 的一元函数，那么我们需要一种方式来表达点的位置关系，于是我们引入复数系来解决这个问题

通过下列欧拉公式将点的直角坐标与复数坐标联系

$$x(t)+jy(t) = r(t)e^{j\theta(t)} = r(t)\cdot\cos(\theta(t))+jr(t)\cdot\sin(\theta(t))$$

其中

$$r(t) \, 表示点到原点的距离，\theta(t) \, 表示该点的向量与实轴的夹角$$

于是我们有了复数函数

$$f(t) = r(t)e^{j\theta(t)} \quad t \in [0,1]$$

那么我们将 $f(t)$ 进行周期 $T_1=1$ 延拓，便可将 $f(t)$ 展开成傅里叶级数，可求得傅里叶级数系数 $F_n$

$$\begin{align} f(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {F_n e^{jn\pi t}} \\ & = \cdots + F_{-n}e^{-jw_nt} + \cdots + F_{-2}e^{-jw_2t}+F_{-1}e^{-jw_1t}+ F_0 + F_{1}e^{jw_1t} + F_{2}e^{jw_2t} + \cdots + F_{n}e^{jw_nt} + \cdots \end{align}$$

我们分别看各个分量的情况，以 $n=2, \; F_2e^{jw_2t}$为例

$$F_2e^{jw_2t} = re^{j\theta}e^{jw_2t}=re^{j(\theta + w_2t)}$$

其中傅里叶级数的系数 $F_2=re^{j\theta}$ 为一个复数的定值，$e^{jw_2t}$ 只改变整体的相位，而不改变幅度，于是随着 $t$ 的连续变化，整体向量将会绕着自身的起点进行旋转

两个向量相加，三个相加，四个相加……相当于将向量进行首位依次相接

而把 $n=0$ 作为第一个向量，其相位始终为0，故是固定不动的

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3 傅里叶展开系数的求解

在之前我们已经介绍了傅里叶级数展开系数为

$$F_n = \int_{0}^{1}{f(t)e^{-jw_n t}} \, {\rm d}t \quad 当 T_1 = 1时$$

定积分定义，函数在区间 $[0,1]$ 上的积分为

$$\int_{0}^{1}{h(t)} \, {\rm d}t = \lim_{m\to \infty}{\sum_{i=0}^{m-1}{h(\frac{i}{m}) \, \frac{1}{m}}}$$

故

$$\begin{align} F_n & = \lim_{m\to \infty}{\sum_{i=0}^{m-1}{f(\frac{i}{m}) \; e^{-jw_n \frac{i}{m}} \, \frac{1}{m}}} \\ & \approx \sum_{i=0}^{m-1}{f(\frac{i}{m}) \; e^{-jw_n \frac{i}{m}} \, \frac{1}{m}} \\ & = \sum_{i=0}^{m-1}{f(i\Delta{t}) \; e^{-jw_n\Delta{t} } \, }\quad 其中\, \Delta{t}=\frac{1}{m} \end{align}$$

取 $m=10000$ ，对 $f(t)$ 在 $t\in [0,1]$ 进行均匀采样取值，根据上式进行计算近似得到 $F_n$ ，我们取有限次谐波频率，带入到傅里叶级数展开式中得到 $f(t)$ 的近似值

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4 程序中一些参数

当 $T_1 = 1 $ 时，

$$\left\{ \begin{array}{c} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {F_n e^{jn2\pi t}} \\ F_n = \int_{0}^{1}{f(t)e^{-jn2\pi t}} \, {\rm d}t \end{array} \right.$$

n_vectors：取谐波频率的个数，决定傅里叶级数中的 $n$ ，取 $n\in [\frac{-n_vectors}{2}, \frac{n_vectors}{2}]$ 的整数

slow_factor：速度因子，决定绘制一周的时间为 $\frac{1}{slow_factor}$

start_drawn：是否需要提前绘制好路径

interpolate_config：默认值为 $[0,1]$ ，设置当前傅里叶画笔点与之前路径线的粗细比例，渐变设置

n_cycles 、 run_time：均用于设置运行的时间，分别表示 绘制图像的周数和运行时间，其默认值分别为 None 和 10 ，在适配的程序中，设置了 n_cycles 取较高的优先级，同时设置时，采用 n_cycles

wait_before_start：绘制前的等待时间

center_point：设置绘图的向量第一个向量的起点位置